Задания прототипа 27486 (B9 , ЕГЭ 2014 Онлайн Тест)

Задача 6043
Прямая y = –4x –11 является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Решение:
1) Производная функции в точке x_o равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.
(Уравнение касательной y=kx+b, k — угловой коэффициент (или коэффициент наклона))

Значит, если y = –4x –11 является касательной, то для абсциссы точки касания должно выполняться равенство f '(x) = k = –4

f '(x) = 3x² + 14x + 7

3x² + 14x + 7 = –4
3x² + 14x + 11 = 0
x₁ = –1;   x₂ = –11/3

Мы нашли все точки, в которых касательная к графику функции имеет коэффициент наклона k=–4. В этих точках прямая y = –4x –11 является касательной или же параллельна касательной.

2) Если x — точка касания прямой и графика функции, то она должна быть их общей точкой. То есть, значения функции и y = –4x –11 в этой точке должны совпадать.

Проверим каждую из двух подозреваемых точек:
(–1)³ + 7·(–1)² + 7·(–1) – 6 = –1 + 7 – 7– 6 = –7.
–4·(–1) – 11 = 4 – 11 = –7
Значит, –1 подходит.

Аналогично подставив значение –11/3 в функцию и в y = –4x –11 находим, что значения получились разные. Значит, в точке x=–11/3 прямая y = –4x –11 не касается графика функции.
Ответ: -1

---

Задача 6045
Прямая y = 8x – 9 является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Решение:
f '(x) = 3x² + 2x + 8
3x² + 2x + 8 = 8
3x² + 2x = 0
3x(x+2) = 0
x = 0   или   x = –2

При x = 0:
0³ + 0² + 8·0 – 9 = –9
8·0 – 9 = –9
Значения совпали, значит 0 — точка касания.

При x = –2:
(–2)³ + (–2)² + 8·(–2) – 9 = –8 + 4 – 16 – 9 = –29
8·(–2) – 9 = –16 – 9 = –25
Разные значения. Прямая и график функции не касаются в точке –2.
Ответ: 0

---

Смотреть полный список задач этого прототипа в открытом банке заданий по математике.